El MEJOR trabajo de Matemáticas 1

11 de abril de 2010

Problema 1

1. Un fabricante de radios averigua que puede vender x instrumentos por semanas a P ($), siendo 5x=375-3p. El costo de la producción es 500 + 15x + ⅕x2 pesos. Demuestre que se obtiene la máxima ganancia cuando la producción es alrededor de 30 instrumentos por semana

Procedimiento
-determinar función
Utilidad-ganancia=ingreso-costo

Ingreso = (precio) (N° de unidad) i=px

$i= (\frac{375-5x}{3})x$

$i= (\frac{375-5x}{3})x$

Derivar

$v= -\frac{28}{15}x^{2}+110x-500$

${v}'= -\frac{56}{15}x+110$

Igualar a cero y despejar x

${v}'= -\frac{56}{15}x+110 =0$

$x=\frac{\frac{-110}{1}}{\frac{-56}{15}}=\frac{1650}{56}=29.47$

${v}'=-\frac{56}{15x}+110$

$\mathbf{{v}''=-\frac{56}{15}}$
Negativo indica punto maximo

Costo = 500 + 15x + ⅕ x2

$v=\frac{375x-5x^{2}}{3}- \left [ 500+15x+\frac{1}{5}x^{2} \right ]$

$v=\frac{375x-5x^{2}}{3}-500-15x-\frac{1}{5}x^{2}$

$v=\frac{375x}{3}-\frac{5x^{2}}{3}-500-15x-\frac{1}{5}x^{2}$

$\mathbf{v=-\frac{28}{15}x^{2}+110x-500}$

Problema 2

2. Se quiere construir una caja rectangular de base cuadrada, abierta por arriba. Calcular el volumen de la mayor caja que se puede obtener de 1,200 cm2 de material.

$v=1440000-2400x-2400+4x^{2}(x)$

$v=1440000x-2400x^{2}-2400x^{2}+4x^{3}$

$v=4x^{3}-4800x^{2}+1440000x$

$v=12x^{2}-9600x+1440000$

$v=x^{2}-800+120000=0$

$x_{1}=600,x_{2}=200$

$v_{1}=4(600)^{3}-4800(600)^{2}+1440000(600)=0$

$v_{2}=4(200)^{3}-4800(200)^{2}+1440000(200)=128,000,000$

$\therefore$ elvolumen max se representa cuando x=200

$\therefore$ es un minimo

Problema 3

3. Una ventana en forma de rectángulo coronado de un triangulo equilátero tiene 5m de perímetro. Determine las dimensiones de la ventana para que deje pasar la cantidad máxima de luz.

P=5m
3x+2y=5m
A max= x(4)

A max=
$x(\frac{5-3x}{2})= -\frac{3x^{2}}{2}+\frac{5x}{3}=-\frac{6x}{2}+\frac{5}{2}$

$x=\frac{5}{2}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}=0.83$

$y=\frac{5}{4}=1.25$

Problema 4

4. Suponga que en el problema 1 la relación entre x y p es:

$x=100-20(\sqrt{\frac{p}{5}})$

¿Cuantos instrumentos por semana semana darán una ganancia máxima?

$X=100-20\sqrt{\frac{P}{5}}$

$20\sqrt{\frac{P}{5}}=100-X$

$\sqrt{\frac{P}{5}}=\frac{100-X}{20}$

$(\sqrt{\frac{P}{5}})^{2}=(\frac{100-X}{20})^{2}$

$\frac{P}{5}=(\frac{100-X}{20})^{2}$

$P=(\frac{100-X}{20})^{2}(5)$

$P=(\frac{100}{20}-\frac{X}{20})^{2} (5)= (5-\frac{X}{20})^{2}(5)$

Derivar

$P=(\frac{100}{20}-\frac{X}{20})^{2} (5)= (5-\frac{X}{20})^{2}(5)$

${u}'=\frac{17}{80}x+\frac{31}{2}$

${u}'=\frac{17}{80}x+\frac{31}{2}$

$x=\frac{\frac{-31}{2}}{\frac{17}{4}}$

X= -124/34 = -62/17

$\left [ (5)^{2}-2(5)(\frac{x}{20})(\frac{x^{2}}{20}) ^{2}\right ]5$

$(25-\frac{x}{10}+\frac{x^{2}}{400})5=125-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{80}$

$ingreso=i= 125-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{80}= (500+15x+\frac{1}{5}x^{2})$

\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{80}-500-15x-\frac{1}{5}x^{2}" target="_blank"> $i=125-\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{80}-500-15x-\frac{1}{5}x^{2}$

$\mathbf{i=-375-\frac{31}{2}x-\frac{17}{80}x^{2}}$

$\therefore {v}'=\frac{17}{40}x+\frac{31}{2}$

${v}''= \frac{17}{40}$

Positivo indica ganancia minima

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